TEORÍA DE CONJUNTOS: CONJUNTO VACIO

Notación de conjuntos y el conjunto vacío

1.2.1. Si $\,x$ es un conjunto cuyos elementos son $a_{1},a_{2},\ldots \,a_{n}$ y solo ellos, es común representar a este conjunto $\,x$ por

$\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ ,

si $\,n$ no es un número muy grande.

1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,

$a\in x$ es equivalente a $\{a\}\subseteq x$ .

1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos. Si $\,x$ es el conjunto de todos aquellos elementos $\,a$ que verifican una propiedad $\,\phi$ , entonces $\,x$ se representa también por

$\{a\mid \phi (a)\}$ .

1.2.4. Así, si $\,\phi (a)$ es la propiedad $\,a=a$ , entonces el conjunto

$\{a\mid a=a\}$

claramente contiene cualquier cosa.

1.2.5. Mientras tanto, si $\,\phi (a)$ es la propiedad $a\neq a$ , entonces el conjunto

$\{a\mid a\neq a\}$

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por $\varnothing$ . Tenemos que $\varnothing \subseteq x$ para cualquiera que sea el conjunto $\,x$ (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en $\varnothing$ que no estuviera en el conjunto $\,x$ , lo cual es absurdo pues $\varnothing$ no contiene nada).

Por otro lado,

$x\subseteq \varnothing$ implica $x=\varnothing$

para cualquier conjunto $\,x$ . Efectivamente, pues si fuera $x\subseteq \varnothing$ y $x\neq \varnothing$ , entonces $\varnothing$ tendría por lo menos un elemento que no está en $\,x$ , lo que es imposible.

TEORÍA DE CONJUNTOS

jueves, 13 de febrero de 2014

CONJUNTO VACIO

Notación de conjuntos y el conjunto vacío

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