TEORÍA DE CONJUNTOS: 2014

sábado, 15 de marzo de 2014

Proposición bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera:

p « q Se lee “p si solo si q”

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

“Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

por lo tanto su tabla de verdad es.

p	q	p « q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas

A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

(p’ ® q) Ù [p ® (rÚs) ] Ù [(rÙ s) ® t’ ] « w

jueves, 20 de febrero de 2014

Operaciones con conjuntos

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

Unión: (símbolo $\cup$ ) La unión de dos conjuntos $A$ y $B$ , que se representa como $A \cup B$ , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos $A$ y $B$ .
Intersección: (símbolo $\cap$ ) La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \cap B$ de los elementos comunes a A y B.
Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto $A$ con $B$ es el conjunto $A \ B$ que resulta de eliminar de $A$ cualquier elemento que esté en $B$ .
Complemento: El complemento de un conjunto $A$ es el conjunto $A ∁$ que contiene todos los elementos que no pertenecen a $A$ , respecto a un conjunto $U$ que lo contiene.
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A Δ B$ con todos los elementos que pertenecen, o bien a $A$ , o bien a $B$ , pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \times B$ de todos los pares ordenados $(a, b)$ formados con un primer elemento $a$ perteneciente a $A$ , y un segundo elemento $b$ perteneciente a $B$ .

Operaciones con conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Complemento

Diferencia simétrica

Cardinalidad

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto:

El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.

El cardinal se denota por

| A |

card(A)

#A

. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que

| A | = 4

(cuatro números),

| B | = 3

(tres colores) y

| F | = 10

(diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío

\emptyset

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales:

N = {1, 2, 3, ...}

. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.

jueves, 13 de febrero de 2014

CONJUNTOS DISYUNTOS O DISJUNTOS

En matemáticas, dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Equivalentemente, dos conjuntos son disjuntos si su intersección es vacía. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.asies

Definición[editar]

Los conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común.

Dos conjuntos A y B son disjuntos si se cumple que ningún elemento de A lo es de B o viceversa:

$x\in A\rightarrow x\notin B{\text{ y }}x\in B\rightarrow x\notin A$

Otra manera de expresarlo es mediante su intersección, que está formada por sus elementos en común. La intersección de dos conjuntos disjuntos A y B es vacía

$A\cap B=\varnothing$

En general, dada una colección de conjuntos A, B, C, etc. se dice que estos sondisjuntos por pares o mutuamente disjuntos si dos conjuntos cualesquiera de la colección son disjuntos entre sí. En términos de una familia de conjuntos {A_i}_i ∈ I:

${\text{ Si }}A_{i}\neq A_{j}{\text{ , entonces }}A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$

Por ejemplo, la colección { {1}, {2}, {3} } es disjunta por pares. La familia { {1, 2}, {2, 3}, {4} } no lo es: a pesar de que no hay ningún elemento común a todos los conjuntos de la misma, la pareja {1, 2} y {2, 3} no es disjunta.

EJEMPLOS DE CONJUNTOS

Siendo A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5} representa y calcula las siguientes operaciones:

1. [Ejercicio 21] A ∩ B

2. [Ejercicio 22] A ∪

5. [Ejercicio 25] A ∩ (B ∪ C)

7. [Ejercicio 27] P (A) ∩ B

9. [Ejercicio 29] A ∩ A - A ∪ A

10.[Ejercicio 30] [A ∪ (B ∩ C)- A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C ) - (A ∩ B )]

SOLUCIONES

Siendo A= {0,1,2}, B={0,1,{2}} C={4,5} representa y calcula las siguientes operaciones:

1. [Ejercicio 21] A ∩ B

Solución:

A ∩ B= {0, 1}

2. [Ejercicio 22] A ∪ B

Solución:

A ∪ B={0,1,2, {2}}

5. [Ejercicio 25] A ∩ (B ∪ C)

Solución:

A ∩ (B ∪ C)={0,1}

7. [Ejercicio 27] P (A) ∩ B

Solución:

P (A) ∩ B={{2}}

9.[Ejercicio 29] A ∩ A - A ∪ A

10. [Ejercicio 30] [A ∪ (B ∩ C)- A ∩ (B ∪ C)] - [(B ∪ C ) - (A ∩ B )]

CONJUNTO VACIO

Notación de conjuntos y el conjunto vacío

1.2.1. Si $\,x$ es un conjunto cuyos elementos son $a_{1},a_{2},\ldots \,a_{n}$ y solo ellos, es común representar a este conjunto $\,x$ por

$\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ ,

si $\,n$ no es un número muy grande.

1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,

$a\in x$ es equivalente a $\{a\}\subseteq x$ .

1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos. Si $\,x$ es el conjunto de todos aquellos elementos $\,a$ que verifican una propiedad $\,\phi$ , entonces $\,x$ se representa también por

$\{a\mid \phi (a)\}$ .

1.2.4. Así, si $\,\phi (a)$ es la propiedad $\,a=a$ , entonces el conjunto

$\{a\mid a=a\}$

claramente contiene cualquier cosa.

1.2.5. Mientras tanto, si $\,\phi (a)$ es la propiedad $a\neq a$ , entonces el conjunto

$\{a\mid a\neq a\}$

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por $\varnothing$ . Tenemos que $\varnothing \subseteq x$ para cualquiera que sea el conjunto $\,x$ (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en $\varnothing$ que no estuviera en el conjunto $\,x$ , lo cual es absurdo pues $\varnothing$ no contiene nada).

Por otro lado,

$x\subseteq \varnothing$ implica $x=\varnothing$

para cualquier conjunto $\,x$ . Efectivamente, pues si fuera $x\subseteq \varnothing$ y $x\neq \varnothing$ , entonces $\varnothing$ tendría por lo menos un elemento que no está en $\,x$ , lo que es imposible.

IMAGENES COJUNTOS

Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamadapotencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo)puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.

TEORIA DE CONJUNTO.

DIAGRAMAS DE VENN

DIAGRAMAS DE VENN

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A Í B

A È B

A Ç B

A - B

A D B